Kolik je přesně π? Skutečnou hodnotu se nikdy nedozvíme

„Lidé si od pradávna kladli otázku, jaký je poměr obvodu kruhu ku jeho průměru, což je právě hodnota π. Třeba proto, aby věděli, kolik materiálu potřebují na stavbu studny,“ představuje nejvýznamnější matematickou konstantu, o níž se píše i v Bibli, děkan Matematicko-fyzikální fakulty UK Mirko Rokyta. Právě dnes, 14. března, slavíme Mezinárodní den π. 

Vy se konstantou π (čti „pí“) odborně zabýváte? Málokdy se totiž stane, že vám na určitou problematiku doporučí přímo děkana fakulty.

Nevěnuji se ani tak přímo číslu π jako spíš popularizaci matematiky obecně. A jsem rád, že i při výkonu funkce děkana mám stále trochu času na to, abych tu a tam zajel na nějakou střední či základní školu něco o matematice říci. Zvládám ale tak maximálně deset až patnáct přednášek do roka.

Je popularizace správnou cestou, jak prolomit strach, či dokonce odpor k matematice i u humanitně zaměřených žáků?

Ono je to dvojsečné. Na jednu stranu je nesmírně důležité, aby se lidé zbavili ostychu z takzvané velké vědy. Ale na druhou stranu při popularizaci matematiky se nutně setkáváme s tím, že musíme zjednodušovat. Sdělovat fakta jako by někdy spadla z nebe, a ne jako přirozenou posloupnost úvah, že z něčeho plyne to a to, a proto nutně musíme dospět k takovému závěru našeho přemýšlení či takovému vzorečku… Spousta i našich studentů si pak často myslí, že právě způsobem, jakým se věda předkládá při popularizaci, se i dělá „velká věda“. Teď trochu přeháním, ale v principu mají často studenti názor, že vlastně stačí o nějakém problému filozofovat či si jen nezávazně povídat, aniž by své úvahy měli podložené argumenty. Netuší, že při popularizaci se za prezentovanými fakty skrývá hromada „tvrdé práce“ a že matematická úvaha nesmí mít mezery a nesmí být zpochybnitelná v žádném logickém kroku.

Je to podobné, jako když stavíte krásný dům. Nestačí vzít tyče, udělat z nich konstrukci, přilepit na ni sklo, přidělat schody a vymalovat to… Je za tím spousta výpočtů, které jsou nutné pro to, aby to celé nakonec nespadlo.

Mezinárodní den π, který se symbolicky připomíná 14. 3. (přibližná hodnota π se nejčastěji udává 3,14 – pozn. red.) je vlastně také způsob popularizace. Čím je tato matematická konstanta tak významná, že má „svůj“ den?

Dokonce bych řekl, že je to nejdůležitější konstanta v matematice. Zmínka o ní je už v Bibli, kde se v První knize králů píše o tom, že král Šalamoun nechal zhotovit kulatou nádrž zvanou moře s průměrem deset loktů a obvodem třicet loktů, tedy třikrát větší než průměr. Už tehdy tedy lidé uvažovali, že onen poměr obvodu ku průměru, tedy π, je zhruba tři. Kruh je také první nerovný pravidelný objekt, který následuje po „rovných“ objektech jako jsou úsečky, čtverce, krychle.

Od pradávna si tedy lidé kladli otázku, jaký je obvod kruhu ku jeho průměru, což je právě číslo π.

Ale ještě před tím, než si toto řekli a změřili obvod kruhu, jenž vydělili jeho průměrem a zajímalo je, kolik to je, si museli uvědomit, že je to univerzální číslo pro všechny kruhy, které ať se zvětšují, či zmenšují, onen poměr se nemění – zůstává konstantní, což je zásadní objev, bez kterého by mluvit o čísle π vůbec nedávalo smysl.

A pak přišel druhý krok – najít jeho přesnou hodnotu. Pokoušeli se o to Babyloňané (už cca 1900 př. n. l.), kteří hodnotu π odhadli na 3,125, i Egypťané (1600 př. n. l.), kteří pro π používali hodnotu 3,16. Indové v jisté chvíli své historie používali pro hodnotu číslo 3,139, čímž se dosti přiblížili ke skutečné hodnotě π, která je (s přesností na osm míst za desetinnou čárkou) 3,14159265.

Archimédes ve třetím století před naším letopočtem spočítal π velice přesně díky tomu, že dovnitř kruhu a vně kruhu kreslil mnohoúhelníky.

Zjistil, že když si do kruhu vepíše šestiúhelník, aproximace je tak nepřesná, že mu dá hodnotu π rovnou třem. Ale čím více stran vepsaný mnohoúhelník má, tím více se přiblíží reálné hodnotě π. Nakonec použil devadesáti šestiúhelník. Nejprve jej vepsal dovnitř kruhu, čímž mu bylo jasné, že spočítal něco, co je menší, než skutečná hodnota π. A tak ho opsal kruhu zvnějšku. Výsledkem byl odhad hodnoty π – tedy mezi kterými čísly leží. Přišel tak na to, že π je určitě větší než 3,14 a menší než 3,143. Tím dokázal, že první dvě cifry za desetinnou čárkou už má správně! Od té doby se pro přibližnou velikost π používá právě hodnota 3,14. Krásnou aproximací hodnoty π je zlomek 355/113, který objevil v 5. století n.l. čínský matematik a astronom Zu Chongzhi. Tento zlomek aproximuje π s přesností na šest míst za desetinnou čárkou.

Nicméně jeho úplně přesnou hodnotu dodnes neznáme. Proč?

Ano, nikdy nelze spočítat všechny jeho cifry, protože je jich nekonečně mnoho a v jejich struktuře není žádná pravidelnost. To plyne z výsledku z roku 1761, kdy Johann Heinrich Lambert teoreticky dokázal, že π není racionální číslo, tudíž ho nelze vyjádřit žádným zlomkem. Takovým číslům se také říká iracionální. A právě z tohoto faktu plyne, že jeho desetinný rozvoj běží do nekonečna a nevykazuje žádnou periodu. Jediné, o co se můžeme snažit, je spočítat co nejvíce jeho desetinných míst.

O π se také říká, že je transcendentní. Co to znamená?

Zjednodušeně řečeno to souvisí se způsobem, jakým se dá číslo vypočítat. Racionální čísla lze vyjádřit zlomkem. Čísla takzvaně algebraická je možné vypočítat jako kořen polynomiální rovnice s celočíselnými koeficienty, například rovnice kvadratické nebo kubické či dalších. A čísla, jež nelze vypočítat pomocí žádné takovéto rovnice, se nazývají transcendentní.

Když bylo v roce 1882 dokázáno, že π je nejen iracionální, ale dokonce i transcendentní, museli matematici vzdát snahu vypočítat ho jakožto kořen polynomiální rovnice a hledat jiné způsoby. Už nějakou dobu před tímto objevem se rovněž ukázalo, že dobrým způsobem, jak počítat π, jsou takzvané nekonečné číselné řady. Neboli jde o to vyjádřit π jako jakýsi nekonečný součet známých čísel, pokud možno co nejjednodušších, který se postupně blíží (tedy jak matematici říkají, konverguje) k číslu π. Čím více členů této řady sečteme, tím více desetinných míst π získáme, tím přesněji se k číslu π přiblížíme. Tento postup se užívá dodnes, pouze se využívají stále rafinovanější číselné řady.

Proč π matematiky tak fascinuje, že se stále snaží určit jeho co nejpřesnější hodnotu, i když úplně přesně onu hodnotu získat nelze?

Ze tří důvodů. Jedním je přece jen jakási mediální sláva, protože všechna média pak napíší: Vědci XY vypočítali novou hodnotu π, což samozřejmě není přesné, protože hodnota π je prostě π a vědci vypočítali pouze další nové cifry v jeho desetinném rozvoji.

Druhý důvod je takzvaně číselně teoretický. O π se totiž předpokládá, že se v jeho desetinném rozvoji vyskytují se stejnou pravděpodobností všechny možné konečné kombinace cifer. Na podporu takovéto hypotézy dokonce existuje webová stránka, kam napíšete jakoukoli konečnou posloupnost cifer, třeba datum svého narození a dozvíte se, kde se v nekonečném desetinném rozvoji π tato kombinace cifer nachází. Předpokládá se, že každý by se v něm měl najít. Moje datum narození včetně roku například začíná na pozici 165 884 367 za desetinnou čárkou.

A třetí důvod?

Ten je komerčně asi nejzajímavější, protože na výpočtu π se testují nové počítače a počítačové procesory.

Díky ohromné délce cifer π, které jsou již prokázané, lze přesnost procesorů ověřit?

Přesně tak. Pro zajímavost, současný rekord v počtu cifer π z roku 2021 – 62,8 bilionu cifer – byl vypočítán za sto osm dní. Tak dlouho musel počítač či paralelní počítače nepřetržitě pracovat. Nedošlo k přehřátí ani k chybám. Při tomto procesu nejprve ověřili, že prvních 50 bilionů cifer se shoduje s předchozím výpočtem, což je nutný předpoklad věrohodnosti daného výpočtu, a k nim poté přidali dalších 12,8 bilionu cifer. Také se ukázalo, že procesory či algoritmy výpočtu jsou stále výkonnější. Předchozí rekordní výpočet trval mnohem déle, přestože počítal o 12,8 bilionu cifer méně. Vědci tak mohli v roce 2021 prezentovat, že sestrojili rychlejší a přesnější procesor, případně že použili efektivnější algoritmus výpočtu. Mimochodem, oněch 62,8 je dvacetinásobek hodnoty 3,14, není to jen náhodný počet cifer.

Proč se π říká Ludolphovo číslo? Šlo o matematika, který se v jeho výpočtu dostal nejdále bez pomoci počítače?

Ano, je to na počest matematika Ludolpha van Ceulena, jenž věnoval velkou část svého života výpočtu π na třicet pět desetinných míst. Do té doby bylo π známo jen na několik málo desetinných míst. „Procesor“ Ludolph van Ceulen zmíněnou aproximaci hodnoty π spočítal za mnoho dnů a bezesných nocí, a byl na to velice hrdý. Tak, že si dokonce nechal jím spočítanou hodnotu vytesat na svůj náhrobek.

Proč vlastně zůstal Archimédes (jeho bronzová socha stojí v Syrakusách na Sicílii - pozn. red.) u devadesáti šestiúhelníku?

Vyšel ze základního šestiúhelníku a neustále zdvojnásoboval počet stran. Tak se dostal až na devadesáti šestiúhelník a získal hodnotu π s přesností na dvě desetinná místa, což mu tehdy stačilo, našel onu hodnotu 3,14, která pro velkou většinu výpočtu zcela dostačuje. Čím víc stran má mnohoúhelník, který do kruhu vpisujete, tím je výpočet těžší a delší. Každému, kdo si Archimedův výpočet prostuduje, musí být jasné, že na tehdejší kapacity člověka, jenž si psal všechny výpočty na papír či spíše pergamen nebo kreslil do písku (Odtud jeho slavný citát: „Neruš mé kruhy“ – pozn. red.), to byl fantastický výkon. A byli i matematici, kteří nosili všechny své výpočty v hlavě!

Jak to dokázali?

Byli trénovanější. My se bohužel v poslední době dostáváme k přílišné zkratkovitosti, kdy všechno musí být rychle a hned. Zadáme dotaz do Google, který nám okamžitě vyplivne výsledek, a to nám stačí. Jenže nesmírně důležitá je cesta, jak se k výsledku dobrat. Což je právě to, co uměli staří pánové a co je dodnes pravou podstatou vědy, kterou zanedbáváme. Klást si a hledat odpovědi na otázky: Proč to tak je? a Jak se na to přijde?

Místo toho si „klikneme a víme“.

To je skvělé a může to fungovat, pokud něco v podstatě vím a rozumím tomu, jen si to potřebuji osvěžit. Nikdo není chodící encyklopedie. S tím souvisí i popularizace matematiky, o níž jsme mluvili na začátku, a která nesmí končit jen u toho, že studenty a žáky nadchneme, ale měla by je motivovat, aby se začali o problém zajímat do hloubky. Každému je jasné, že k vítězství ve Wimbledonu nestačí sledovat na YouTube Federera, jak hraje tenis, je potřeba tvrdá dřina a trénink. Zrovna tak si nemůžeme myslet, že k pochopení matematiky stačí dívat se, jak někdo provádí výpočty, matematika vyžaduje aktivní přístup a poctivou a leckdy nelehkou práci.

Proto se učíme počítat, i když k tomu máme kalkulačky.

Přesně tak. A stejně odpovídám i studentům Matfyzu na otázku, proč musí derivovat a integrovat s tužkou a papírem, což je leckdy náročná matematická práce. Protože někdo to umět musí! Jinak by už nikdo nedokázal sestavit přístroje nové generace, programovat je a kontrolovat, zda ty stávající počítají správně.