Slavíková: Matematika je jako umění. Nevíte, kam vás zavede

„Nezajímá mě tolik, zda díky mým poznatkům někdo dokáže sestavit rychlejší počítač nebo popíše určitý fyzikální jev. Líbí se mi hledání a nacházení překvapivých souvislostí mezi jednotlivými pojmy a objekty,“ říká Lenka Slavíková z MFF UK, laureátka Ceny Neuron 2023 pro nadějné vědce v oboru matematika za studium matematických funkcí. 

Spojila jste si ocenění Neuron s konkrétním výsledkem ve vašem matematickém výzkumu?

Nemyslím si, že bych cenu získala za konkrétní matematický objev. Spíš ho vnímám jako kladné ohodnocení celé mé dosavadní práce a zároveň je to pro mě osobně motivace do další vědecké činnosti.

Ale přece jen, mohla byste vypíchnout zásadní dílek, kterým jste přispěla do matematické „skládačky“? Na co jste zvlášť pyšná?

Věnuji se dvěma matematickým oblastem. Jednak teorii prostorů funkcí a pak harmonické analýze. Pyšná jsem zejména na několik výsledků, kdy se nám podařilo tyto dvě oblasti spojit, tj. využít teorii prostorů funkcí k řešení problémů z harmonické analýzy. V tento okamžik nemá moje práce přímé využití v aplikacích, ale třeba v budoucnu to bude jinak. Řada matematických objevů našla své uplatnění třeba až po sto letech…

Jak byste vysvětlila svou práci laikovi? Pro sebe jsem si přeložila harmonickou analýzu tak, že hledáte určité spojitosti, řád v matematických rovnicích. 

Základní princip harmonické analýzy je zkoumání nějakého složitého objektu tím způsobem, že si ho rozložíme na spoustu jednodušších entit, které se dají zkoumat výrazně snadněji, a když už pak o nich něco víme, snažíme se je „složit“ zase zpátky dohromady. Například tímto způsobem rozkládáme složité funkce. Harmonické analýze se také říká Fourierova analýza podle Josepha Fouriera, který se její pomocí pokoušel popsat šíření tepla v prostoru už před zhruba dvěma sty lety.

Dá se jeho teorie dnes využít třeba při vytápění místností?

Ano, například. Když zapnete topení, začne se daným objektem šířit teplo a on chtěl popsat, jakým způsobem se to bude dít.

Vycházíte tedy z toho, že rozkládáte „něco“ na menší dílky. Jak ale přijdete na tu primární složitou základní funkci, již chcete tímto rozkladem pochopit?

Pro názornost zůstaňme u zmíněného šíření tepla. Rádi bychom ho popsali určitou funkcí, která nám řekne, že na tomto místě a v tomto čase bude jistá teplota. Matematické modelování dokáže tuto funkci popsat konkrétní poměrně složitou rovnicí. Jenže nedostanete přesný vzorec této funkce…

Kterým by se dalo spočítat, jaká teplota bude v jakémkoli bodě v místnosti.

Přesně tak. Josepha Fouriera napadlo hledat tuto neznámou funkci tak, že si ji rozloží do spousty jednodušších. Respektive rozložil si ji do spousty „vlnek“ – na jednodušší funkce sinus a cosinus – a hledal řešení v tomto tvaru. Podobný princip se využívá rovněž při zpracování obrazu, když třeba potřebujete zmenšit velký obrázek, a přitom ho ideálně zachovat naoko v původní podobě. Provede se to tak, že se obrázek rozloží do spousty malých dílků různých frekvencí, přičemž dílky s velkou frekvencí (ty, kde se obrázek hodně mění) se nějakým způsobem zanedbají, zatímco hlavní části se zachovají.

V praxi to tedy znamená, že když si zmenším obrázek, některé „dílky“ oproti původní velikosti zmizí. Obraz je tedy jiný, což ale nevadí, protože okem rozdíl nerozpoznám. Je to tak?

Dá se to tak říct. Musíte ovšem vědět, co „zanedbat“. Konkrétně já nepracuji s aplikacemi na zpracování obrazu nebo na diferenciální rovnice. Zabývám se vědou, která však z tohoto principu vychází a snaží se jít po té teoretické rovině dál.

Říkala jste, že někdy v budoucnu mohou vaše matematické poznatky nalézt využití v aplikacích. Co je vaším cílem teď?

Typicky řeším určitý otevřený problém. Snažím se tedy zodpovědět nějakou matematickou otázku, která mi z teoretického hlediska přijde zajímavá, a na kterou zatím ještě nikdo odpověď nenalezl. Pokud jde o opravdu složitý otevřený problém, pak se jen málokomu z nás podaří jej zcela vyřešit. Můžeme ale například zkoumat určité speciální případy, abychom problému alespoň částečně porozuměli. Rozhodně v dnešní době v matematice neplatí, že by všechno člověk vymýšlel sám. Hodně vycházíme z toho, co už bylo dokázáno.

Do jaké míry potřebujete kooperovat, z očí do očí komunikovat s kolegy? A co naopak dokážete zjistit sama, samostudiem dostupných zdrojů informací nebo přímo vlastním výzkumem?

Spolupráce s ostatními je zásadní. Na doktorátu jsem sice napsala několik článků samostatně, což se od studentů na počátku vědecké kariéry tak trochu vyžaduje. Ale s postupem času a v tento okamžik už ani nemám žádný článek, na němž bych pracovala sama. Na rozdíl od jiných oborů my matematici nepracujeme ve velkých týmech. Většinou mám jednoho až tři blízké spolupracovníky, s nimiž diskutujeme problémy a sepisujeme postupy a závěry.

Když je podle vás téměř nemožné dořešit problém do konce, jak tedy poznáte, kdy se věnovat něčemu jinému?

To je zásadní otázka, kterou si jako vědkyně neustále kladu. Mám jistý dlouhodobý cíl, otevřený problém, jenž bych ráda nějakým způsobem pochopila, ideálně ho vyřešila nebo se k řešení aspoň přiblížila. A k němu jdu po malých krůčcích určitým směrem, o němž si myslím, že má potenciál. Není to tak, že bych „něco udělala“, a pak šla úplně jinam. Tedy s výjimkou případů, kdy vidím, že to opravdu nikam nevede.

Stává se to často?

Neřekla bych úplně často, ale stává. Slepých uliček je spousta, ale na druhou stranu alespoň se o nich dozvím a mohu o nich dát vědět. Ostatně i o „slepé uličce“ se dá napsat zajímavý článek (směje se).

V jakém časovém horizontu se na těchto matematických cestách pohybujete, v řádech měsíců, nebo dokonce let?

Dobrý odhad. Musím přiznat, že jsem málokdy napsala odborný článek dřív než za rok. Je to také tím, že zpravidla pracuji na několika textech, respektive projektech, najednou. Všechny spolu do značné míry souvisí, a když mě něco napadne k jednomu, zaměřím se na určitou dobu na něj. Zároveň tak i dobře funguje spolupráce s kolegy, neboť v okamžiku, kdy na některý z projektů zrovna nemám čas, může na něm pracovat někdo ze spoluautorů, a společně se tak posouváme kupředu.

Kdy jste se rozhodla, že se budete věnovat matematice?

Zlomový byl pro mě okamžik, kdy jsem ve třetím ročníku střední školy postoupila do celostátního kola matematické olympiády. Ačkoliv mě matematika vždycky celkem bavila, nedokázala jsem si do té doby představit, že bych ji opravdu šla studovat. Myslela jsem si, že bych se mohla maximálně věnovat řešení hodně složitých příkladů, jejichž výsledky jsou ale už známé – protože všechno už přece bylo vyřešeno. Byla jsem pak příjemně překvapená, kolik problémů ještě vyřešeno není.

Vaše motivace byla tedy od začátku stejná – hledat řešení dosud neobjasněných matematických problémů.

V mém případě ano. Je ale hodně studentů, kteří se věnovali velmi úspěšně matematickým olympiádám na střední škole, a když pak nahlédli do matematického výzkumu, zjistili, že to není cesta pro ně. Typicky jsou stále hodně úspěšní v tom, čemu se věnují, ale nemusí to být nutně matematický výzkum. Naopak já zjistila, že matematická věda mi vyhovuje výrazně víc než řešení problémů z matematických olympiád.

Láká vás to široké dosud neprobádané území.

Jednak. A pak také velice nerada řeším úlohy „na čas“. Vyhovuje mi, že na výzkum, jemuž se věnuji, mám v podstatě tolik času, kolik chci, a mohu ho řešit, kdy chci. Nepotřebuji rychle vidět konkrétní výsledky. Pro mě se matematika podobá umění. Nikdy nevíte, kam přesně vás zavede. Nezajímá mě tolik, zda díky mým poznatkům někdo dokáže sestavit rychlejší počítač nebo popíše určitý fyzikální jev. Líbí se mi hledání a nacházení překvapivých souvislostí mezi jednotlivými pojmy a objekty.

Jak jste si našla svou specializaci?

Na první takové křižovatce jsem se coby studentka ocitla na konci bakalářského studia, když jsem si vybírala téma bakalářské práce. Tak to má, myslím, většina studentů Matfyzu. Pracujete na bakalářce, a buď se vám to zalíbí a zůstanete u podobného tématu, anebo se přesunete jinam. Mně se to zalíbilo, mým vedoucím byl profesor Luboš Pick, který se věnuje především prostorům funkcí. Zůstala jsem u něj i na diplomovou a později doktorskou práci. První moje specializace byla tudíž teorie prostorů funkcí. Ke konci doktorského studia jsem se chtěla posunout trochu dál a hledala jsem zajímavou postdoktorskou pozici v zahraničí. Shodou okolností jsem ji našla na Univerzitě v Missouri, kde jsem se začala věnovat harmonické analýze.

V čem je lepší být přímo na místě výzkumu, oproti tomu, když spolupracujete s kolegy ze zahraničí na dálku?

Rozhodně postupujete rychleji kupředu. V cizím prostředí vás navíc nerozptyluje tolik vjemů jako doma, máte víc času i větší motivaci se problému věnovat. V Missouri jsem se zaměřila na pro mě úplně novou oblast matematiky. S harmonickou analýzou jsem neměla do té doby příliš zkušeností a zaujala mě. Nyní se snažím kombinovat to, co jsem se naučila v zahraničí, s tím, co umím odsud. Konkrétně na Matfyzu má oblast teorie prostorů funkcí velice dlouhou tradici, spousta lidí se jí zde věnuje desítky let. Oproti tomu harmonická analýza se v Česku zatím skoro nedělá. Proto v ní vidím velký potenciál a možnost přispět k rozkrytí nových problémů.

Jak si můžeme propojení harmonické analýzy a teorie prostorů funkcí představit?

Jak už jsem zmínila dříve, v harmonické analýze se snažíme pochopit nějaký složitý objekt, například složitou funkci, tím, že ho rozložíme na spoustu jednodušších. V řadě případů ale tu funkci, kterou chceme rozkládat, neznáme explicitně, pouze víme, že má některé důležité vlastnosti. To je okamžik, kdy přichází ke slovu teorie prostorů funkcí. Tato oblast matematiky nám totiž poskytuje nástroje, jak s těmito vlastnostmi funkcí efektivně pracovat. V budoucnu bych se ráda zabývala rovněž aplikacemi harmonické analýzy v takzvané ergodické teorii. Díky ní lze porozumět chování různých komplikovaných systémů v delším časovém úseku. Nedávno jsem dokončila svůj první vědecký článek na toto téma, napsala jsem ho společně se dvěma zahraničními kolegy. Zatím se rozhodně nepovažuji za odbornici na tuto oblast, potřebuji se i nadále seznamovat s informacemi, které jsou známé, a s přístupy, jež se v této oblasti běžně používají. Učím se s nimi pracovat a kombinuji je s tím, co už umím a znám. V dnešní době je matematika opravdu hodně o spolupráci.

Hledáte, kdo se problému ve světě věnuje, a zkoušíte s ním navázat kontakt?

Ano, to je cesta, která opravdu funguje, ale ne vždy je snadné takového člověka nalézt. Ne že by neexistoval, ale může být těžké rozklíčovat, že konkrétně jeho práce může nějak souviset s tou vaší. Ke spoustě velkých objevů v matematice dochází tak, že lidé našli souvislosti mezi oblastmi, kde by je nikdo nikdy nečekal. Když se vám něco takového povede, může to pak vést k velmi zajímavým výsledkům.